Mélanger les ingrédients pour la sauce, y compris la demie c. à c. de sel.
Utiliser 4 c. à s. de sauce pour garnir le blanc de poulet. La sauce est encore meilleure si elle est préparée quelques heures avant de servir. Couvrir la sauce et la réserver au frais. Sortir la sauce aux airelles et le fromage de chèvre du réfrigérateur environ 20 minutes avant de fourrer les blancs de poulet.
Préparer le barbecue en configuration directe à chaleur moyenne (175 à 230 °C).
Déposer les blancs de poulet sur un plan de travail, puis découper une grande poche dans la partie la plus épaisse de chaque blanc. Mettre 1 c. à s. de fromage de chèvre dans la poche et 1 c. à s. de sauce aux airelles sur le fromage. Fermer la poche. Badigeonner d'huile les deux faces des blancs de poulet et les épicer uniformément de poivre, de thym et d’une demie c. à c. de sel.
Faire cuire les blancs de poulet garnis à chaleur directe moyenne et couvercle fermé jusqu’à ce que le Weber Connect Smart Grilling Hub affiche 73° C (au bout d’env. 8 – 12 minutes). Pendant ce temps, retourner une fois avec précaution. Retirer du barbecue et laisser reposer 3 à 5 minutes. Servir chaud avec le reste de sauce aux airelles.