Assaisonnez la côte de bœuf uniformément avec 2 cuillerées à thé de sel et 1 cuillerée à thé de poivre. Laisser reposer les côtes levées à température ambiante pendant 30 à 40 minutes avant de commencer la cuisson.
Mettez une grande barquette jetable sous la grille de cuisson du barbecue pour récupérer le jus de cuisson. Préchauffez le barbecue pour une cuisson indirecte à feu moyen (180 à 230 °C).
Centrez la côte de bœuf au-dessus de la barquette, côté gras en haut, et faites cuire de 1¼ à 1½ heure à feu moyen indirect, couvercle fermé, jusqu’à ce que la température interne atteigne 43 ºC, en tournant la viande 180° à mi-cuisson. Maintenez la température du barbecue entre 180 et 190 °C. Pendant ce temps, préparez le jus.
Séparez les échalotes en deux ou coupez-les en deux dans la longueur si elles ne se séparent pas naturellement. Faites chauffer l'huile dans une grande poêle chauffée à feu moyen-vif sur la cuisinière. Ajoutez les échalotes, côté coupé en bas, et laissez cuire environ 3 minutes jusqu’à ce qu’elles brunissent légèrement. Retournez-les et laissez brunir l’autre côté environ 3 minutes. Ajoutez 240 ml de bouillon et couvrez partiellement la poêle. Passez à feu moyen et laissez cuire environ 10 minutes jusqu’à ce que les échalotes soient ramollies. Retirez le couvercle et laissez cuire encore 10 minutes jusqu’à ce que le bouillon se soit évaporé en glaçage et que les échalotes soient tendres. Ajoutez les 480 ml restants de bouillon, portez à ébullition, baissez le feu et laissez frémir environ 5 minutes à feu moyen-vif jusqu’à ce que le liquide s’épaississe, en remuant pour déglacer la poêle. Retirez du feu, salez et poivrez si nécessaire et réservez pour le service.
Lorsque la température de la viande atteint 43 ºC, retirez-la du barbecue. Fermez le couvercle du barbecue pour garder la chaleur. Badigeonnez de moutarde le dessus et les côtés du rôti. Mélangez la chapelure et le fromage bleu dans un petit bol. Pressez le mélange sur la moutarde pour former une croûte. Arrosez avec la cuillerée à soupe d'huile. Centrez de nouveau le rôti au-dessus de la barquette et faites-le cuire de 15 à 30 minutes à feu moyen indirect, couvercle fermé, jusqu’à ce la croûte brunisse légèrement et qu'un thermomètre instantané introduit dans la partie la plus épaisse de la viande affiche 51 ºC pour une viande mi-saignante. Retirer du barbecue et laisser reposer de 15 à 20 minutes. Réchauffez le jus juste avant de servir. Coupez la viande en tranches de 1 mm. Servez chaud avec le jus.
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