Bereid de barbecue voor op direct grillen en indirect roosteren op matig vuur (180-230°C).
Rooster de paprika's op directe matige temperatuur gedurende 10-12 minuten, met gesloten deksel, tot ze donker zijn geworden en er overal 'blaren' vormen. Draai ze af en toe om. Doe de paprika's in een kom en dek ze af met een laagje huishoudfolie om de stoom op te vangen. Laat ongeveer 10 minuten staan. Haal de paprika's uit de kom, schil ze en gooi de verkoolde schil weg. Snijd de steeltjes er af en haal de zaadjes eruit. Snijd elke paprika in vier stukken.
Bestrijk de aubergines aan beide zijden ruimschoots met olie. Bestrijk de courgettes aan beide zijden licht met olie. Breng de groenten gelijkmatig op smaak met ½ theelepel zout en ¼ theelepel peper. Grill de groenten op direct en matig vuur gedurende 8-10 minuten, met gesloten deksel, tot ze mooi gemarkeerd zijn. Laat ze niet te zacht worden en draai ze één of twee keer om.
Smeer een 18-bij-25-cm grill-vaste ovenschaal of pan licht in met olie. Klop in een kom het ei, de ricotta, 4 eetlepels basilicum, de knoflook, ½ theelepel zout en ½ theelepel peper. Schik met de helft van de groenten een laagje aubergines, dan courgettes, dan paprika's, die een beetje over de plakjes heen liggen. Verdeel de helft van het ricotta mengsel over de groenten in een gelijkmatige laag en bedek het met de helft van de kaas. Herhaal dit met de rest van de groenten, het ricotta-mengsel en de kaas.
Bak de gratin op middelmatig vuur gedurende 25-30 minuten, met gesloten deksel, tot de kaas gesmolten en bruisend is. Draai de schotel af en toe. Haal de gratin van de barbecue en laat het lichtjes afkoelen. Serveer warm of op kamertemperatuur, gegarneerd met de resterende basilicum.
