Laat de houtsnippers minstens een half uur in water weken.
Maak de barbecue klaar voor indirecte bereiding bij medium hitte (175-225 °C).
Smeer de tomaten lichtjes in met olie. Knip een vel aluminiumfolie af van ongeveer 20 bij 30 cm. Leg de knoflooktenen midden op de folie. Sprenkel ½ theelepel olie over de knoflooktenen en vouw het aluminium folie dicht tot een pakketje.
Laat de houtsnippers uitlekken en voeg ze toe aan de brandende briketten of in de smokerbox van een gasbarbecue. Borstel de grillroosters schoon. Zodra het hout begint te roken kunnen de tomaten en het pakketje met de knoflook boven indirecte medium hitte worden geplaatst. Grill dit tot de tomaten een lichte rooksmaak hebben en bruine vlekjes krijgen en de knoflook bruine randjes heeft, ongeveer 20 minuten.
Pureer de tomaten met de knoflook in een keukenmachine tot het een zachte massa is. Voeg de mayonaise, azijn, ½ theelepel zout en de peper toe. Schenk de saus in de kommen waarin het gerecht later wordt geserveerd. (Dek ze af en zet in de koeling als de saus het komende uur nog niet geserveerd wordt. Laat het bij kamertemperatuur ongeveer 30 minuten staan voor opdienen).
Breng een grote pan met gezouten water aan de kook op het fornuis.
Bereid de artisjokken voor door de donkere buitenste bladeren te verwijderen tot je de gelige bladen met lichtgroene uiteinden ziet. Leg elke artisjok op zijn kant en snij de overgebleven bladeren eraf net boven de steel. Gebruik een theelepel en lepel het harige hooi eruit. Snij de stengel van elke artisjok in de lengte door en snijd hem dan af, waarbij er ongeveer 1,5 centimeter aan blijft zitten. Gebruik een klein scherp mes of dunschiller en schil de donkergroene schil rond de onderkant en de stengel tot op het zachte lichtgroenere ‘vlees’. Als elk artisjokkenhart is gedaan, doe ze dan in een grote schaal met water met daarin citroensap.
Laat de artisjokken uitlekken en doe ze in de pan met kokend water, kook, tot je ze met een dun mesje makkelijk kunt inprikken, 10 tot 12 minuten, maar laat ze niet te gaar worden. Laat de artisjokken uitlekken in een vergiet en leg ze in een grote schaal. Voeg terwijl ze nog warm zijn, 2 eetlepels olie toe en de resterende ½ theelepel zout. Schud ze voorzichtig om tot de artisjokken volledig bedekt zijn (de artisjokken zijn nu eerst klaar en kunnen tot 4 uur in de koelkast. Breng ze op kamertemperatuur voor het grillen).
Haal de artisjokkenharten uit de schaal en laat daarbij de overtollige olie eerst in de schaal uitlekken. Grill de artisjokken boven directe hitte, met gesloten deksel, tot ze warm en licht gebruind zijn, 4-6 minuten, waarbij ze een tot twee keer omgedraaid dienen te worden. Serveer warm of op kamertemperatuur met de saus.
